Linear FunctionalFunkcjonał liniowy

Definition. Let $ V $ be a vector space over a field $ \mathbb{K} $. A linear functional (linear form, covector) on $ V $ is a map $ \phi \colon V \to \mathbb{K} $ satisfying:

additivity $\forall x, y \in V \quad \phi(x + y) = \phi(x) + \phi(y),$
homogeneity $\forall \alpha \in \mathbb{K},\ \forall x \in V \quad \phi(\alpha x) = \alpha\,\phi(x).$

Both conditions can be written equivalently as one:

\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K},\ \forall x, y \in V \quad \phi(\alpha x + \beta y) = \alpha\,\phi(x) + \beta\,\phi(y).

The set of all linear functionals on $ V $ is itself a vector space, the dual space $ V^* $.

Examples

Linear combination

Fix $ (c_1, \dots, c_n) \in \mathbb{K}^n $ and define $ \phi \colon \mathbb{K}^n \to \mathbb{K} $ by

\phi(x_1, \dots, x_n) = c_1 x_1 + \dots + c_n x_n .

Then $ \phi $ is a linear functional on $ \mathbb{K}^n $.

Trace of a matrix

Consider the vector space $ M_{n \times n}(\mathbb{K}) $ of all square $ n \times n $ matrices over $ \mathbb{K} $. Define $ \operatorname{tr} \colon M_{n \times n}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K} $, which assigns to a matrix the sum of the entries on its main diagonal:

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n A_{ii} = A_{11} + A_{22} + \dots + A_{nn} .

Then $ \operatorname{tr} $ is a linear functional on $ M_{n \times n}(\mathbb{K}) $.

Proof

For any matrices $ A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{K}) $ and any scalar $ \alpha \in \mathbb{K} $:

Additivity: $\operatorname{tr}(A + B) = \sum_{i=1}^n (A_{ii} + B_{ii}) = \sum_{i=1}^n A_{ii} + \sum_{i=1}^n B_{ii} = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$
Homogeneity: $\operatorname{tr}(\alpha A) = \sum_{i=1}^n \alpha A_{ii} = \alpha \sum_{i=1}^n A_{ii} = \alpha \operatorname{tr}(A)$

Definite integral

Take real scalars, $ \mathbb{K} = \mathbb{R} $, and let $ V = C([a, b]) $ be the space of continuous real-valued functions on the interval $ [a, b] $. Define $ I \colon C([a, b]) \to \mathbb{R} $ by the definite integral

I(f) = \int_a^b f(x)\,dx .

Then $ I $ is a linear functional on $ C([a, b]) $.

Proof

For any functions $ f, g \in C([a, b]) $ and any scalar $ \alpha \in \mathbb{R} $:

Additivity: $I(f + g) = \int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx = I(f) + I(g)$
Homogeneity: $I(\alpha f) = \int_a^b \alpha f(x)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx = \alpha I(f)$

Definicja. Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $ \mathbb{K} $. Funkcjonałem liniowym (formą liniową, kowektorem) w przestrzeni $ V $ nazywamy odwzorowanie $ \phi \colon V \to \mathbb{K} $, spełniające:

addytywność $\forall x, y \in V \quad \phi(x + y) = \phi(x) + \phi(y),$
jednorodność $\forall \alpha \in \mathbb{K},\ \forall x \in V \quad \phi(\alpha x) = \alpha\,\phi(x).$

Oba warunki można zapisać równoważnie jednym:

\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K},\ \forall x, y \in V \quad \phi(\alpha x + \beta y) = \alpha\,\phi(x) + \beta\,\phi(y).

Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych na $ V $ sam jest przestrzenią liniową, nazywaną przestrzenią dualną $ V^* $.

Przykłady

Kombinacja liniowa

Przyjmijmy $ (c_1, \dots, c_n) \in \mathbb{K}^n $. Zdefiniujmy odwzorowanie $ \phi \colon \mathbb{K}^n \to \mathbb{K} $ wzorem:

\phi(x_1, \dots, x_n) = c_1 x_1 + \dots + c_n x_n .

Wówczas $ \phi $ jest funkcjonałem liniowym na $ \mathbb{K}^n $.

Ślad macierzy

Rozważmy przestrzeń liniową $ M_{n \times n}(\mathbb{K}) $ wszystkich macierzy kwadratowych rozmiaru $ n \times n $ nad ciałem $ \mathbb{K} $. Zdefiniujmy odwzorowanie $ \operatorname{tr} \colon M_{n \times n}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K} $ przypisujące macierzy sumę elementów leżących na jej głównej przekątnej:

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n A_{ii} = A_{11} + A_{22} + \dots + A_{nn} .

Wówczas $ \operatorname{tr} $ jest funkcjonałem liniowym na $ M_{n \times n}(\mathbb{K}) $.

Dowód

Dla dowolnych macierzy $ A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{K}) $ oraz dowolnego skalara $ \alpha \in \mathbb{K} $:

Addytywność: $\operatorname{tr}(A + B) = \sum_{i=1}^n (A_{ii} + B_{ii}) = \sum_{i=1}^n A_{ii} + \sum_{i=1}^n B_{ii} = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$
Jednorodność: $\operatorname{tr}(\alpha A) = \sum_{i=1}^n \alpha A_{ii} = \alpha \sum_{i=1}^n A_{ii} = \alpha \operatorname{tr}(A)$

Całka oznaczona

Rozważmy przypadek, gdy ciałem skalarów są liczby rzeczywiste ($ \mathbb{K} = \mathbb{R} $). Niech $ V = C([a, b]) $ będzie przestrzenią funkcji ciągłych określonych na przedziale $ [a, b] $ o wartościach rzeczywistych. Zdefiniujmy odwzorowanie $ I \colon C([a, b]) \to \mathbb{R} $ za pomocą całki oznaczonej:

I(f) = \int_a^b f(x)\,dx .

Wówczas $ I $ jest funkcjonałem liniowym na $ C([a, b]) $.

Dowód

Dla dowolnych funkcji $ f, g \in C([a, b]) $ oraz dowolnego skalara $ \alpha \in \mathbb{R} $:

Addytywność: $I(f + g) = \int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx = I(f) + I(g)$
Jednorodność: $I(\alpha f) = \int_a^b \alpha f(x)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx = \alpha I(f)$

ReferencesBibliografia

Axler, S. (2024). Linear Algebra Done Right (4th ed.). Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. SectionRozdział 3F: Duality.