Dual SpacePrzestrzeń dualna

Let $ V $ be a vector space over a field $ \mathbb{K} $. The dual (conjugate) space of $ V $, denoted $ V^* $, is the space of all linear functionals defined on $ V $:

V^* = \operatorname{Hom}(V, \mathbb{K}) = \{\phi : V \to \mathbb{K} \mid \phi \text{ is linear}\}

Dual basis. Let $ (e_1, \dots, e_n) $ be a basis of $ V $.

Theorem (Dual basis). Let $ V $ be a vector space of finite dimension $ \dim(V) = n $, and let $ B = (e_1, \dots, e_n) $ be a basis of $ V $. For each basis vector $ e_i $ there is a unique functional $ e_i^* \in V^* $ (called the $ i $-th coordinate functional), given on the vectors of $ B $ by the Kronecker delta:

e_i^*(e_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{for } i = j \\ 0 & \text{for } i \neq j \end{cases}

The system $ B^* = (e_1^*, \dots, e_n^*) $ is a basis of the dual space $ V^* $, called the dual basis of $ B $.

As a consequence:

Decomposition of a vector in $ V $ using the dual basis: $v = \sum_{i=1}^n e_i^*(v)\, e_i$
Decomposition of a functional in $ V^* $ in the dual basis: $\phi = \sum_{i=1}^n \phi(e_i)\, e_i^*$
$ \dim(V^*) = \dim(V) = n $.

Proof

To show that $ (e_1^*, \dots, e_n^*) $ is a basis of $ V^* $, we prove that it is linearly independent and that it spans $ V^* $.

1. Linear independence. Consider a linear combination that gives the zero functional $ \mathbf{0} \in V^* $:

\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i^* = \mathbf{0}

Apply both sides to an arbitrary basis vector $ e_j \in V $:

\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i^*\right)(e_j) = \mathbf{0}(e_j) = 0

By linearity and the definition $ e_i^*(e_j) = \delta_{ij} $:

\sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_{ij} = \alpha_j = 0 \quad \text{for every } j \in \{1, \dots, n\}

All coefficients $ \alpha_j $ are zero, so $ (e_1^*, \dots, e_n^*) $ is linearly independent.

2. Spanning $ V^* $. Let $ \phi \in V^* $ be any linear functional. Define the scalars $ c_i = \phi(e_i) \in \mathbb{K} $ and consider the functional:

\psi = \sum_{i=1}^n c_i e_i^*

Evaluate $ \psi $ on the basis vectors $ e_j $:

\psi(e_j) = \left(\sum_{i=1}^n c_i e_i^*\right)(e_j) = \sum_{i=1}^n c_i \delta_{ij} = c_j = \phi(e_j)

The linear functionals $ \phi $ and $ \psi $ agree on every vector of the basis $ B $, so they are equal:

\phi = \psi = \sum_{i=1}^n \phi(e_i)\, e_i^*

So every functional is a linear combination of the elements of $ B^* $.

The system $ B^* = (e_1^*, \dots, e_n^*) $ is linearly independent and spans all of $ V^* $, so it is a basis. $ \blacksquare $

Example: polynomials

Let $ V = \mathbb{R}_2[x] $ be the space of real polynomials of degree at most $ 2 $, with basis $ e_1 = 1,\ e_2 = x,\ e_3 = x^2 $. Some elements of $ V^* $:

evaluation at a point, $ \mathrm{ev}_a(p) = p(a) $;
the integral, $ I(p) = \int_0^1 p(x)\,dx $;
the derivative at zero, $ D(p) = p'(0) $.

Each of these is linear in $ p $. The dual basis reads off the coefficients of $ p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 $:

e_1^*(p) = p(0) = a_0, \qquad e_2^*(p) = p'(0) = a_1, \qquad e_3^*(p) = \tfrac{1}{2}\, p''(0) = a_2 .

You can check $ e_i^*(e_j) = \delta_{ij} $ directly. For example, $ e_3^*(x^2) = \tfrac12 \cdot 2 = 1 $ and $ e_3^*(x) = 0 $. Every functional is a combination of these. For the integral, $ I(p) = a_0 + \tfrac12 a_1 + \tfrac13 a_2 $, so $ I = e_1^* + \tfrac12 e_2^* + \tfrac13 e_3^* $.

In $ \mathbb{R}^n $ the same idea gives the familiar picture. Vectors are columns, covectors are rows $ a^\top $, and $ \phi(v) = a^\top v $. The dual basis of the standard basis is the standard basis of rows.

Visualization

Take $ V = \mathbb{R}^2 $ and choose a basis $ e_1, e_2 $ with the sliders (angle and length). A covector $ \phi $ can be drawn as the family of parallel level lines $ \{x : \phi(x) = k\} $, $ k \in \mathbb{Z} $. The value $ \phi(v) $ counts how many lines $ v $ crosses. The dual basis has the following properties:

the level lines of $ e_1^* $ are parallel to $ e_2 $, because $ e_1^*(e_2) = 0 $;
$ e_1 $ spans exactly one gap between them, because $ e_1^*(e_1) = 1 $.

Lengthen $ e_1 $, and the lines of $ e_1^* $ spread apart. The covector gets "smaller" as the vector grows. Let $ A = [\,e_1\ e_2\,] $ be the matrix with the basis vectors as columns. The dashed arrows show the gradients of $ e_1^*, e_2^* $ under the standard inner product, which are the rows of $ A^{-1} $. Each is perpendicular to the other basis vector. They coincide with $ e_1, e_2 $ only when the basis is orthonormal.

Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $ \mathbb{K} $. Przestrzenią sprzężoną (dualną) do $ V $, oznaczaną jako $ V^* $, nazywamy przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych określonych na $ V $:

V^* = \operatorname{Hom}(V, \mathbb{K}) = \{\phi : V \to \mathbb{K} \mid \phi \text{ jest liniowe}\}

Baza sprzężona. Przyjmijmy $ (e_1, \dots, e_n) $ jako bazę przestrzeni $ V $.

Twierdzenie (Baza sprzężona). Niech $ V $ będzie przestrzenią liniową o wymiarze skończonym $ \dim(V) = n $, a układ $ B = (e_1, \dots, e_n) $ jej bazą. Dla każdego wektora bazowego $ e_i $ istnieje jednoznacznie wyznaczony funkcjonał $ e_i^* \in V^* $ (zwany $ i $-tym funkcjonałem współrzędnym), zadany na wektorach bazy $ B $ za pomocą delty Kroneckera:

e_i^*(e_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{dla } i = j \\ 0 & \text{dla } i \neq j \end{cases}

Układ $ B^* = (e_1^*, \dots, e_n^*) $ stanowi bazę przestrzeni sprzężonej $ V^* $, zwaną bazą sprzężoną (dualną) do bazy $ B $.

W konsekwencji:

Rozkład wektora z $ V $ za pomocą bazy dualnej: $v = \sum_{i=1}^n e_i^*(v)\, e_i$
Rozkład funkcjonału z $ V^* $ w bazie dualnej: $\phi = \sum_{i=1}^n \phi(e_i)\, e_i^*$
$ \dim(V^*) = \dim(V) = n $.

Dowód

Aby wykazać, że układ $ (e_1^*, \dots, e_n^*) $ jest bazą przestrzeni $ V^* $, należy dowieść jego liniowej niezależności oraz tego, że rozpina przestrzeń $ V^* $.

1. Liniowa niezależność. Rozważmy kombinację liniową dającą funkcjonał zerowy $ \mathbf{0} \in V^* $:

\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i^* = \mathbf{0}

Aplikując obie strony tej równości do dowolnego wektora bazowego $ e_j \in V $:

\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i^*\right)(e_j) = \mathbf{0}(e_j) = 0

Z liniowości i definicji $ e_i^*(e_j) = \delta_{ij} $:

\sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_{ij} = \alpha_j = 0 \quad \text{dla każdego } j \in \{1, \dots, n\}

Wszystkie współczynniki $ \alpha_j $ muszą być równe zeru, zatem układ $ (e_1^*, \dots, e_n^*) $ jest liniowo niezależny.

2. Liniowe rozpinanie przestrzeni $ V^* $. Niech $ \phi \in V^* $ będzie dowolnym funkcjonałem liniowym. Zdefiniujmy skalary $ c_i = \phi(e_i) \in \mathbb{K} $ i rozważmy funkcjonał:

\psi = \sum_{i=1}^n c_i e_i^*

Sprawdzamy wartości funkcjonału $ \psi $ na wektorach bazowych $ e_j $:

\psi(e_j) = \left(\sum_{i=1}^n c_i e_i^*\right)(e_j) = \sum_{i=1}^n c_i \delta_{ij} = c_j = \phi(e_j)

Ponieważ funkcjonały liniowe $ \phi $ i $ \psi $ przyjmują identyczne wartości na wszystkich wektorach bazy $ B $, są tożsame:

\phi = \psi = \sum_{i=1}^n \phi(e_i)\, e_i^*

Dowolny funkcjonał jest zatem kombinacją liniową elementów układu $ B^* $.

Układ $ B^* = (e_1^*, \dots, e_n^*) $ jest liniowo niezależny i generuje całą przestrzeń $ V^* $, stanowi więc jej bazę. $ \blacksquare $

Przykład: wielomiany

Niech $ V = \mathbb{R}_2[x] $ będzie przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej $ 2 $, z bazą $ e_1 = 1,\ e_2 = x,\ e_3 = x^2 $. Przykładowe elementy $ V^* $:

wartość w punkcie, $ \mathrm{ev}_a(p) = p(a) $;
całka, $ I(p) = \int_0^1 p(x)\,dx $;
pochodna w zerze, $ D(p) = p'(0) $.

Każdy z nich jest liniowy względem $ p $. Baza dualna odczytuje współczynniki wielomianu $ p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 $:

e_1^*(p) = p(0) = a_0, \qquad e_2^*(p) = p'(0) = a_1, \qquad e_3^*(p) = \tfrac{1}{2}\, p''(0) = a_2 .

Łatwo sprawdzić, że $ e_i^*(e_j) = \delta_{ij} $, np. $ e_3^*(x^2) = \tfrac12 \cdot 2 = 1 $ oraz $ e_3^*(x) = 0 $. Każdy funkcjonał jest kombinacją tych trzech. Dla całki $ I(p) = a_0 + \tfrac12 a_1 + \tfrac13 a_2 $, więc $ I = e_1^* + \tfrac12 e_2^* + \tfrac13 e_3^* $.

W $ \mathbb{R}^n $ ta sama idea daje znany obraz. Wektory to kolumny, kowektory to wiersze $ a^\top $, a $ \phi(v) = a^\top v $. Bazą dualną do bazy standardowej jest standardowa baza wierszy.

Wizualizacja

Weźmy $ V = \mathbb{R}^2 $ i wybierzmy suwakami bazę $ e_1, e_2 $ (kąt i długość). Kowektor $ \phi $ można narysować jako rodzinę równoległych poziomic $ \{x : \phi(x) = k\} $, $ k \in \mathbb{Z} $. Wartość $ \phi(v) $ to liczba poziomic, które przecina $ v $. Baza dualna ma następujące własności:

poziomice $ e_1^* $ są równoległe do $ e_2 $, bo $ e_1^*(e_2) = 0 $;
$ e_1 $ rozpina dokładnie jeden odstęp między nimi, bo $ e_1^*(e_1) = 1 $.

Gdy wydłużysz $ e_1 $, poziomice $ e_1^* $ się rozsuną. Kowektor „maleje”, gdy wektor rośnie. Niech $ A = [\,e_1\ e_2\,] $ będzie macierzą, której kolumnami są wektory bazy. Przerywane strzałki to gradienty $ e_1^*, e_2^* $ względem standardowego iloczynu skalarnego, czyli wiersze $ A^{-1} $. Każdy z nich jest prostopadły do drugiego wektora bazy. Pokrywają się z $ e_1, e_2 $ tylko wtedy, gdy baza jest ortonormalna.

anglekąt e₁ 10°

lengthdługość e₁ 1.20

anglekąt e₂ 65°

lengthdługość e₂ 0.90

v_x 2.20

v_y 1.60

Basis vectors $ e_1 $ (blue) and $ e_2 $ (red), with the level lines $ e_1^* = k $ (blue) and $ e_2^* = k $ (red) of the dual basis. Dashed arrows are the gradients of $ e_1^*, e_2^* $. The black vector $ v $ has coordinates $ (e_1^*(v), e_2^*(v)) $, read off by counting the lines it crosses.

Wektory bazy $ e_1 $ (niebieski) i $ e_2 $ (czerwony) oraz poziomice $ e_1^* = k $ (niebieskie) i $ e_2^* = k $ (czerwone) bazy dualnej. Przerywane strzałki to gradienty $ e_1^*, e_2^* $. Czarny wektor $ v $ ma współrzędne $ (e_1^*(v), e_2^*(v)) $, które odczytujemy, licząc przecinane poziomice.