Kernel of a Linear MapJądro przekształcenia liniowego
Definition. Let \( V \) and \( W \) be vector spaces over a field \( \mathbb{K} \) and let \( T \colon V \to W \) be a linear map. The kernel (null space) of \( T \) is the set of all vectors of \( V \) that \( T \) sends to the zero vector of \( W \):
Visualization
Take \( V = W = \mathbb{R}^2 \) and \( T(x) = Ax \), where the entries of the matrix \( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \) are set with the sliders. The left panel shows the domain with the kernel in red, the right panel shows the codomain with the image of the grid. Everything red on the left lands on the single red point \( 0 \) on the right. Move \( x \) onto the red line and \( T(x) \) collapses to zero.
Definicja. Niech \( V \) i \( W \) będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem \( \mathbb{K} \) i niech \( T \colon V \to W \) będzie przekształceniem liniowym. Jądrem przekształcenia \( T \) nazywamy zbiór wszystkich wektorów przestrzeni \( V \), które \( T \) przeprowadza na wektor zerowy przestrzeni \( W \):
Wizualizacja
Weźmy \( V = W = \mathbb{R}^2 \) oraz \( T(x) = Ax \), gdzie elementy macierzy \( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \) ustawiamy suwakami. Lewy panel pokazuje dziedzinę z jądrem zaznaczonym na czerwono, prawy panel przeciwdziedzinę z obrazem siatki. Wszystko, co czerwone po lewej, trafia w jeden czerwony punkt \( 0 \) po prawej. Przesuń \( x \) na czerwoną prostą, a \( T(x) \) skurczy się do zera.
ReferencesBibliografia
- Axler, S. (2024). Linear Algebra Done Right (4th ed.). Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. SectionRozdział 3B: Null Spaces and Ranges.